数学の授業で登場する「正接（せいせつ）」という言葉。三角関数のひとつとして知られていますが、意味や公式、使い方を正しく理解している人は意外と少ないかもしれません。この記事では、正接（tan）の定義から計算方法、日常や物理での活用例まで、初心者にもわかりやすく解説します。
1. 正接（せいせつ）とは？基本の意味
1-1. 正接の定義
正接（英語では tangent／略して tan）は、三角関数のひとつで、角度と比率の関係を表す関数です。直角三角形において、ある角の「正接」は次の比で定義されます。
「正接 ＝ 対辺 ÷ 隣辺」
つまり、角度に対して正接は“高さと底辺の比”を表す値です。この比率を使うことで、角度や辺の長さを求めることができます。
1-2. 三角関数の中での位置づけ
三角関数には「正弦（sin）」「余弦（cos）」「正接（tan）」の3つが基本としてあり、それぞれ以下のような関係があります。 - sin（サイン）＝ 対辺 ÷ 斜辺 - cos（コサイン）＝ 隣辺 ÷ 斜辺 - tan（タンジェント）＝ sin ÷ cos
このように、正接は「正弦を余弦で割った値」としても定義できます。
2. 正接の由来と名前の意味
2-1. 「正接」という言葉の由来
「正接」という漢字の由来は、円に接する線を意味する「接線」から来ています。英語の “tangent” もラテン語で「触れる」を意味する “tangere” に由来します。三角関数における「正接」は、単位円に引いた接線の長さに対応しているため、このように呼ばれるようになりました。
2-2. 英語の “tangent” との関係
“tangent” は幾何学的に「接線」を意味し、三角関数では角度の接線に対応する比率を指します。そのため、グラフで見るとtan関数は周期的に発散し、接線のような性質を持ちます。
3. 正接の公式と計算方法
3-1. 基本公式
正接の基本公式は次の通りです。
tanθ ＝ sinθ ÷ cosθ
この式を使うと、他の三角関数から正接を求めることができます。また、三角比の定義に基づいて次のようにも表せます。
tanθ ＝ 対辺 ÷ 隣辺
3-2. 角度ごとの代表的な値
正接の値は角度によって異なります。代表的な角度では以下のようになります。
0° → 0
30° → 1/√3
45° → 1
60° → √3
90° → 定義されない（cosθ＝0になるため）
このように、正接は45°で1となり、角度が大きくなるほど値が増加していきます。90°では無限大に発散するため、tan90°は定義されません。
3-3. 逆関数との関係
逆関数である「逆正接（arctan または tan⁻¹）」は、tanθの値から角度θを求めるために使われます。例えば、tanθ＝1ならばθ＝45°となります。
4. 正接のグラフと特徴
4-1. tan関数のグラフの形
tan関数は、周期的に上下に発散する波形を持っています。周期はπ（180°）で、cosθが0になる点（90°、270°など）で定義できなくなります。そのため、グラフは縦に切れ目のある形をしています。
4-2. グラフの性質
- 周期：π（180°） - 対称性：原点対称（奇関数） - 定義されない角度：θ＝π/2 + nπ（nは整数） この性質により、tan関数は数学や物理で「傾き」や「角度の比率」を扱う場面で重要な役割を果たします。
5. 正接の応用と使い方
5-1. 角度と高さを求める計算
正接は、角度や高さを求める実用的な計算に使われます。例えば、次のような場合です。
「ある地点から塔の上を見上げる角度が30°で、観測点から塔の距離が10mのとき、塔の高さを求める。」
tan30°＝高さ ÷ 10
高さ＝10 × tan30°＝10 × 1/√3 ≒ 5.77m
このように、角度と距離がわかれば高さを簡単に計算できます。
5-2. 傾斜角や勾配の計算
正接は「傾き＝高さ ÷ 水平距離」としても使われるため、道路や坂道、屋根の傾斜角などを表すときにも利用されます。例えば、勾配が0.5の場合、tanθ＝0.5なのでθ＝約26.6°となります。
5-3. 物理学での活用例
物理では、力の分解や射出角度の計算などにもtanが使われます。特に、斜面上の物体にかかる力の方向やベクトルの分解では、tanθ＝垂直方向／水平方向として関係式を立てることができます。
6. 正接と他の三角関数の関係
6-1. 三角関数の相互関係
三角関数には相互に変換できる関係があります。 tanθ＝sinθ ÷ cosθ cotθ＝1 ÷ tanθ
このように、正接は余接（cot）と逆の関係にあり、sin・cosと連動して計算が可能です。
6-2. ピタゴラスの定理との関係
sin²θ + cos²θ＝1 という基本式から、tanを用いた形に変形できます。
tan²θ + 1 ＝ 1 ÷ cos²θ
この式は、三角関数の基本的な関係式のひとつとして頻繁に利用されます。
7. 正接のグラフの応用と性質の理解
7-1. 発散点の理解
tan関数はcosθ＝0のとき定義できません。これは、隣辺が0になり「割り算ができない状態」になるためです。グラフ上ではこの点で縦の線（漸近線）が現れます。
7-2. 周期性と応用
tan関数は周期πで繰り返すため、角度が180°異なっても同じ値を取ります。これは、三角関数の周期性を利用して計算を簡略化できる特徴のひとつです。
8. 正接の学び方と理解のコツ
8-1. 図で覚えるのがポイント
正接の定義を覚える際には、直角三角形の図を描いて「対辺÷隣辺」という比を目で確認するのが効果的です。公式だけで覚えるより、図をイメージすることで理解が深まります。
8-2. sin・cosとの関連を意識する
tan＝sin÷cosという関係を理解しておくと、他の三角関数とまとめて覚えやすくなります。sin・cosが分かればtanも求められるため、計算問題でも役立ちます。
9. まとめ：正接は「角度の傾き」を表す重要な関数
正接（tan）は、三角関数の中でも「角度と傾きの関係」を示す重要な関数です。対辺と隣辺の比から成り立ち、角度や高さ、距離の計算などに幅広く活用されます。数学だけでなく、建築・物理・エンジニアリングなど、実生活でも欠かせない基本概念です。
正接の意味や性質をしっかり理解すれば、三角関数全体の理解がぐっと深まるでしょう。
